なるほど、よく理解が深まりましたって英語でなんて言うの？

★ 訳
・直訳「ありがとうございます。今はそのトピックについて、より深い理解を持っています」
・意訳「ありがとうございます。そのトピックについて理解が深まりました」

★ 解説
　回答のご指定がカジュアルですが、「先生に」というシチュエーションで、さらに日本語自体がカジュアルな感じではないので、このような英語にしてみました。

　「なるほど」という言葉は英語では必ずしも言うとは限らないように思います。それよりも何かを教えてくれた人に対して、「ありがとうございます」というのが最初にあっていいのではないかと思いました。

・a deeper understanding of 〜「〜についてのより深い理解」
　ここでは比較級を使いましたが、教えてもらう前の段階での深さとその後の深さに違いあるからです。

　言い方をかえて、〜 deepened my understanding「〜が私の理解を深くした」のように言うこともできます。deepen「〜を深くする」

　This experience deepened my understanding of how things work in the field.
　「この経験が、その分野で物事がどう機能しているのかについて私の理解を深めた」
　→「この経験のおかげで、その分野がどういうものなのかがよく分かった」

　なお、形容詞や名詞の語尾に en を付けて、「〜になる、〜にする」という意味を作ることができます。

　形容詞 dark → darken（ダークン）「〜が暗くなる、〜を暗くする」
　形容詞 wide → widen（ワイドゥン）「広がる、〜を広くする」
　名詞 length → lengthen（レンクスン）「長くなる、〜を長くする」
　
　ご参考になりましたでしょうか。

色々な表現がありますが、"I see."で「なるほど」という意味です。
"I completely understand"で「完全に理解しました」がよく理解しました、という表現で使われます。

「理解した」というと日本語では過去形なので、"understood"でも通じますが、
"understand"は「状況」を表す単語なので過去形にすると「過去に理解した」ということになり、今は理解していないかもしれないので、「理解した状態」を表すときは、現在形が使われます。

もう完全に理解しました。

totallyはcompletelyの類義語です。