吐き気はするけど、薬を処方してもらうほどではないって英語でなんて言うの？

つわり　は　morning sickness と言います。（朝・午前中、ひどくなるからでしょうか？）

吐き気がする　は feel nausea ですが、おなじみの　feel sick でもOKです。

「薬を処方してもらうほどではない」は、「特に処方薬は要らない」として、
I don't especially need prescriptions.　としました。

（prescription は「処方箋」と覚えている方も多いかと思いますが、「処方薬」も指します）

まとめて、
I (have morning sickness and) feel nausea/sick, but I don't especially need prescriptions.
直訳（つわりがあって）吐き気がしますが、特に処方薬は必要ないです）

また、「薬は最小限だけ処方してください」は
Please prescribe me only a minimum amount(of medicine).　といえばよいでしょう。
only a minimum amount で「最小量」です。

質問者様が書かれている、Please prescribe as less as possible.でも、
おそらく、最初？？とした後、意味は通じると思いますが、as~as の間は原級（辞書に載っている形）が入るので、as less as possible は、文法的にまずいですね。
（less はlittle の比較級ですので）
as little as possible でしたら、大丈夫で、すぐに通じると思います。
（このように、一瞬ポカンとされる場合は、少々言い方が間違っている場合がほとんどです）

妊娠中はなるべく薬は飲みたくないですものね。
早く気分がよくなるといいですね。

ご参考まで。