（会話の中で）「深い知識（ないしは教養）」って英語でなんて言うの？

'deep knowledge' でも大丈夫だと思います。もし、'knowledge' 以外の単語を使うとしたら 'understanding' に置き換えることもできると思います。

また、'deep' の代わりに、'in-depth' (深い、詳細な、綿密な)、'intensive' (集中的な、徹底的な)、'vast' (莫大な、幅広い)、'intimate' (詳細な、詳しい)、なども使えるかと思います。

以上、乱雑で申し訳ありませんが、何かの足しになれば嬉しいです★ヽ(''∀`○)ﾉ☆

「深い知識」は deep knowledge で問題ないと思います。
knowledge という単語はフォーマルな場面（例えばプレゼンテーション）でもカジュアルな会話場面でも普通に使われますので大丈夫です。

例
A: John knows everything about computer, I was quite surprised.
B: Of course you were, his job requires deep knowledge of it.

A：「ジョンはコンピュータのこと何でも知ってるんだな、驚いたよ」
B：「そうだろうとも、彼の仕事にPCの深い知識が必要なんだよ」

上記の会話例に挙げましたが
「深い知識・教養」という表現をもっとカジュアルに言うなら
know(s) everything 「なんでも知ってる」でもいいと思います。

参考までに