That's when I truly understood what the words really meant.
It wasn't until then that I understood what they had been trying to tell me.
一つ目はThat's when～「～したのはそのときだ」という表現に
I truly understood「私が真に理解したのは」
what the words really meant.「その言葉が本当に意味することを」
という意味の流れを加えています。
二つ目はIt was not until～that・・・「～になってはじめて・・・」という意味を作る強調構文の表現です。
It wasn't until then「そのときになってはじめて」
that I understood「私は理解した」
what they had been trying to tell me.「彼らが私に何を伝えようとしていたのかを」
このような意味の流れになっています。
ご参考になれば幸いです。
I never knew the true meaning of that word until that time.
その言葉の本当の意味をそれまでわからなかった。
I never knew ... until ----
---まで、.... を知らなかった。
違う言い方
I never knew what he really wanted to say until that time.
彼が本当に言いたかったことをその時までわからなかった。
日本 
