I want to show my parents just how independent I am.
「両親」→「Parents」
「自立する」→「To be independent」
「見せる」→「To show」
まとめて言いますと、
「私の両親に私が自立した姿を見せたい。」というのは、
「I want to show my parents just how independent I am.」と表現します。
「I want to show my independence to my parents.」というのは、
「自分の自立さを両親に見せたい」という表現です。
シンガポール 
