こんにちは。
"Omnivorous" でも通じますが、科学用語で少し固いかも知れません。普通に動物に対して使う言葉なので、自分に対して使うと少し動物と比べている面白いニュアンスも入ってきます。
上記の例文ですが、"I like all kinds of different foods" は「色々な幅広い食べ物の種類が好きです」という意味します。
"I can eat anything"は「何でも食べれるよ」と相当しますう。
あと "There's nothing I can't eat." は「食べれないもの一切ないよ」を意味します。
ご参考になれば幸いです。