ホームシックにかかっていませんか?と聞きたいのなら、Are you feeling homesick?で伝わります。
Do you miss your family?は「家族に会いたいですか?」という意味です。
若い学生の初めてのホームステイだと家族に会いたい気持ちもあると思います。
相手が緊張しているのなら、安心させるために、
Please make yourself at home! (自分の家だと思ってくつろいでね!)
Don't be shy and ask me any questions! (遠慮しないでなんでも聞いてね!)
などと声をかけてあげるといいかもしれませんね!