ホームシックにかかっていませんか？って英語でなんて言うの？

Don't you feel homesick now? 「今、ホームシックにかかってない？」

日本語と同様、homesickといいますが形容詞なので注意です。名詞はhomesicknessです。

ご参考になれば幸いです。

ホームシックにかかっていませんか？と聞きたいのなら、Are you feeling homesick?で伝わります。

Do you miss your family?は「家族に会いたいですか？」という意味です。
若い学生の初めてのホームステイだと家族に会いたい気持ちもあると思います。

相手が緊張しているのなら、安心させるために、
Please make yourself at home!　（自分の家だと思ってくつろいでね！）
Don't be shy and ask me any questions!　（遠慮しないでなんでも聞いてね！）
などと声をかけてあげるといいかもしれませんね！