合ってますよ！「出来た〜！」は、I did it！という表現が良いと思います。
「[やったー](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/5996/)！[一人で](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/47492/)出来た！」と言いたい場合は、Yay, I did it! 「一人で」というのを更に強調したい場合は、Yay, I did this all by myself! （やったー！これ、一人でやったんだよ！）
Yay! は「やったー！」「イェイ！」のようなニュアンスです。
例：
Yay, I did it! Look Mom!
やったー、できた！見て、ママ！
「じゃじゃーん」は、英語でTada- （発音は、タダー）です。なので、「じゃじゃーん出来た！」と言いたい場合は、Tada-! I did it! になります。
ちなみに、お子さんをこの時に褒める時は、このような表現を使うのも良いかもしれません。You did this all by yourself? Great job! ＝これ、全部一人でやったの？すごいね！
少しでもお役に立てれば幸いです。
ありがとうございました。
make itは「[成功する](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/34391/)」、「[上手くやる](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/69335/)」という
意味の慣用表現です。
make it to～で「～に間に合う」という意味でも
良く使われますので、併せて押さえておいてください。
こんにちは。
様々な言い方ができると思いますが、例えば次のような英語表現はいかがでしょうか：
I did it!
できた！
おっしゃる通り、I did it はとてもよく使われる英語表現です。
例えば Look! I did it! のように言うと「見て！できた！」のようになります。
ぜひ参考にしてください。
日本 
アメリカ合衆国 
