死ぬ気でがんばるって英語でなんて言うの？

like hellは「死にもの狂いで」という 意味の定型表現です。 for dear lifeも「必死で」、「死にもの狂いで」 という意味を表す表現です。 この表現を使って I'll work like hell. I'll work for dear life. と言えば「死ぬ気で頑張る」というニュアンスは 出ます。 参考になれば幸いです。

try my best とは、ベストを尽くすよう挑戦するという意味です。 give it all とは、それ（決意）に対して全てを与える→全ての力を注ぐという意味になります。 ご参考になれば幸いです。

「死ぬ気でがんばる」は、 "I'll make the most of my life." "I'll make the most of every opportunity." という表現を使うことも出来ます。 "make the most of ~"は、「～を最大限に活用する」 "opportunity"は、「機械・チャンス」 という意味です。 ご参考になれば幸いです。