You want to take Fluffy towel with you? You can. But when you get to the nursery, say bye-bye to it. OK?
"take 〜 with 人" は「人が(自分で手にして)〜を持っていく」という表現です。
「いいよ」は "You can." の他に "No problem." "All right." "OK." "Sure." など、多くの言い方があります。
「〜に着く」は "get to 〜" や "arrive at 〜" と表します。
「保育園」は "nursery (school)" や "day-care center" となります。
"say bye-bye to 〜" は「〜にバイバイと言う」という表現です。
「分かった?」は "OK?" "All right?" "Are you OK/all right with that?" などと言うことができます。"that" はその前の "say bye-bye to it(=towel)" を指します。