You have to paint your face with black ink as a penalty.
That's the worst penalty game.
罰ゲームは英語では "penalty" や "penalty game" と表現します。例としては「You have to paint your face with black ink as a penalty」があり、日本語に翻訳すると「あなたは罰ゲームとして自分の顔に黒いインクを塗らなければならない」です。ここで、 "paint one's face with black ink" は「自分の顔に黒いインクを塗る」という意味で、 "as a penalty" は「罰として」という事を表現しています。
また、「the worst penalty game」という表現は「最悪の罰ゲーム」という意味になります。たとえば、特に厳しい罰などを指すときに使用します。
別の例として、「The loser has to clean up as a penalty」というフレーズがあり、これは「敗者が罰ゲームとして掃除をしなければならない」という意味になります。
日本の罰ゲームという習慣はちょっと特殊らしく、英語版ウィキペディアに 「Batsu game」という項目があるくらいです。男女ペアで何かを運ぶとか、ちょっと照れちゃうようなことをゲームとしてやらせるというのはあります。でもこれはゲーム本番なので、何かに負けた人がするものではありません。
なのでpenalty game でも十分通じるはずですが、a game losers have to play というのが親切な気もします。