Press は 雑誌、新聞、ニュースなどのマスコミのことです。
chase around は 追いかけ回す、という意味です。
例えば:
I’ve been chased around by the press.
(私はマスコミに追いかけ回されている)。
After the scandal, she’s been chased around by the press day and night.
(スキャンダル後、彼女は昼も夜も マスコミに追いかけ回されている)。
He became a star overnight. It must be exhausting to be chased around by the press.
(彼は一晩で有名人になった。マスコミに追いかけ回されて、辛いだろうな)。
と言えますよ。参考に!