Your medical fees will go up if your hospital stay carries over to the following month.
If your hospital stay carries over to the following month, the medical costs will be higher.
If you're admitted in hospital and you stay there into the next month, the medical costs are higher.
「月をまたぐ」は、carry over to the following month や into the next month などと表現できます！
上記は、「月をまたいで入院すると医療費が多くかかります」という文の英訳です。
「医療費」は medical fees や medical costs、「（値段などが）上がる」は go up や be higher などと言えます。
他にこんな言い方も！
- If you're admitted to hospital and you stay until the next month, your hospital fees will be higher.
*シンプルに、stay until the next month（次の月までいる）でもちゃんと意味が伝わりますよ
- If your hospital stay carries over to the following month, the admission costs will be higher.
If you are hospitalized over the month-end, you will have to pay more medical costs.
「入院する」ですが、ご質問の文では「入院している」という状態の意味なので
be hospitalized
be in (the) hospital（イギリス英語では theがない方が多い）
になります。
「月をまたいで」は「月末を越えて」という意味で、over the month-end を使います。
アメリカ合衆国 
日本 
