油断せずに行こうって英語でなんて言うの？

上から直訳で
ガードを下げるな！
ガードを上げておけ！

そこから「油断するな」「気をぬくな」という意味で使われています。

let your guard down は「油断する」ようなニュアンスになります。

また、男女の関係や人間関係で「気を許す」という意味でもよく使われます。
例文
Treating you well doesn't mean you should let your guard down.
優しくしてくれたからって、気を許しちゃダメよ。

テニスの王子様を読んだことが無いのでどのようなシチュエーションかわからないので、部長が部員たちに言っている言葉だと想定して訳してみました。

Everyone, stay on your toes.
(直訳：みんな、つま先で立っていろ）
”つま先で立つ”、というのは体重をつま先にかけて前のめりの体勢ですぐに動ける状態にいること。つまり、「警戒する」「準備をする」という意味です。

Keep your eyes open.
(直訳：目を見開いていろ）
目を開けて回りをしっかり見るという意味です。

「油断をする」というのは、let one's guard downと言います。

one's は主語に応じて、my, your, his, herなどの所有格が使われます(^_^)

We shouldn't let our guard downは、「私たちは油断するべきではない」の意味です(^_^)

It's better not let your guard down when you walk around here.
「この辺りを歩いている時は油断しない方が良いよ」

以上です。
少しでも参考になれば幸いです(^_^)

★★大阪カフェレッスン英会話講師　KOGACHI