①I have a pain in my back.
②I have a back pain.
（直訳：背中の中に痛みをもっている）
● 身体の痛みを訴える際には, 頻繁にI have ○○. が用いられます。
・I have a headache.（頭が痛いの。）
・I have a toothache.（歯が痛いの。）
・I have a stomachache.（おなかが痛いの。）
●「背中」＝ back（腰を含めた背中全体）
●「痛み」＝ pain＜急性的＞, ache＜慢性的＞
<腰痛>
実は, 腰痛も同じ表現を利用します。backは「腰を含めて」背中全体を指すからです。
①I have a pain in my back.
②I have a backache.
→ 日本人と同様, 海外でも腰痛に苦しむ人は多くいます。背中の痛みより腰の痛みを抱える人が多いので, a pain in my backやbackacheと言えば, 背中よりも「あ～腰痛なのね」と認識してもらえます。ですから, 「背中が痛い」という方が実はレアなんです。じゃあ, 腰なのか背中なのかをどうやって伝えればよいのか？ 腰が痛い時は腰をさするし, 背中が痛い時はそのようなジェスチャーをしますよね。そのジェスチャーとともに, ①②を言えば, しっかりと伝わります。
「腰」をしっかり強調したい場合は, lower backを利用します。腰は背中(back)の下の方に位置するため, lower（より低い）を使えるわけです。
上記のように何種類か表現することができます。
hurtは、「痛む」という動詞です。
"I have a pain in ～"で、～に痛みがあるという意味です。
もしくは、質問者さんがおっしゃったようにback painを使って、I have a back painということもできます。
ご参考になれば幸いです。
日本 
