いつも昼休みにレッスン受講しています、気に入った先生に「今日と同じ時間にレッスン開講してくれたらまた予約します」と伝えたい場合。If you open your slot at the same time as today,でOKですか？at the same timeでは「同時に」という意味になってしまいそうな…？
おっしゃる通り、at the same timeには「同時に」という意味がありますので、at the same hour（同じ時刻に）という表現を使ってみるといいですね。
例：If you open your slot at the same hour as today
今日と同じ時刻にスロットをあけてくれたら
ご参考になれば幸いです。＾＾
If you open your time slot at the same time tomorrow.
"At the same time"の次に来る単語が、「明日」や曜日を表している場合は「同じ時間」と言う意味になるので問題ないですよ。
例)
Could you please meet me at the same time tomorrow?
(また)明日の同じ時間に私に合ってくれませんか？
参考になれば幸いです。
日本 
