私を構成する一部って英語でなんて言うの？

構成は「to compose」・「to comprise」・「to make up」など文脈によって訳し方が違いますが、自分の話だと（特に、その好みとか主観的か性格的なものを指している場合）一番適切なのは「to make up」です。

ここは一部を「要素」に変えて訳しました。その方が英語にすると自然に聞こえると思いました。

「One of the elements that make up who I am」を提案しました。

なぜ Parts を elements に変えたかと言うと、elements の方が無形な為です。
parts ですと、例えば、腕だと、「My arm is one of the body parts that make up who I am」になりますが、変な文書になります。

要素にすると、例えば、忠実性だと、「Loyalty is one of the elements that make up who I am」とても自然に聞こえます。