私はあまり自分の事を話すのが好きじゃないって英語でなんて言うの？

be not good at ~ very much で、〜があまり得意ではないという意味です。

もし、likeを使いたい場合、
I don't like expressing myself. としてしまうと自分自身を表現するのが嫌いという強く聞こえてしまうため、文末にvery much をつけると丁寧です。

ご参考になれば幸いです。

I'm not (very) good at talking about myself.
「自分のことについて話すのが（あまり）得意ではありません」

私もこのようなケースでは「得意でない」という言い方をされると良いと思います。
「好きじゃないから話したくない」といった反発的（場合によっては攻撃的）な印象を与えないからです。

I don't (really) like to talk about myself.
「自分のことについて話すのは（あまり）好きではありません」

という表現もご紹介させていただきますが、「好きではない」と言うと相手に対して少しキツイ感じや反発的で不機嫌な印象を与えてしまうことがあり得ます。

そのため、「好きではない」と述べる際には、それなりの理由を用意しておかれることも、相手に誤解なく理解してもらうためには大切なことだと思います。

ご参考になれば幸いです。

ご質問ありがとうございます。

・「I don't really like to talk about myself.」
（意味)私はあまり自分の事を話すのが好きじゃない。

<例文>I don't really like to talk about myself. I'd rather listen to other people to talk.
<訳>私はあまり自分の事を話すのが好きじゃない。他の人はしゃべってるのを聞きたい。

ご参考になれば幸いです。