Just as I thought that my nosebleed had stopped, my nose started to get runny next.
Just as I thought that my nosebleed had stopped, my nose started running next.
「鼻血」→「Nosebleed」
「止まる」→「To stop」
「思った」→「Thought」
「次」→「Next」
「鼻水（が出る）」→「To get a runny nose, runny nose」
まとめて言いますと、
「Just as I thought that my nosebleed had stopped, my nose started to get runny next」
「Just as I thought that my nosebleed had stopped, my nose started running next.」
と表現します。
どちらでも使えます。
Right when I thought my nosebleed stopped, now my nose won’t stop running.
Right when I thought my nosebleed stopped, my nose started running.
(鼻血が止まったとちょうど思ったら、次は鼻水が止まらなくなった)。
Right when I thought my nosebleed stopped, now my nose won’t stop running.
(鼻血が止まったとちょうど思ったら、今度は鼻水が止まらないよ)。
Right when は その瞬間 や ちょうど〜 という意味です。
*nosebleed 鼻血
*nose is running 鼻から鼻水が出ている状態
参考に！
My bloody nose finally stopped bleeding, then it started to run and wouldn't stop.
この場合、次のような言い方ができますよ。
ーMy bloody nose finally stopped bleeding, then it started to run and wouldn't stop.
「鼻血がやっと止まったら、次は鼻水が止まらない」
to stop bleeding「出血が止まる」
to start to run「（水などが）流れ始める・鼻水が出始める」
ご参考まで！
シンガポール 
アメリカ合衆国 
カナダ 
