この商品は隣のお店で取り扱っていますって英語でなんて言うの？

"next door" は「隣の、隣にある」ということを表し、"the store next door" で「隣の店」となります。対象となる名詞の後ろに置かれます。
形容詞"next-door"を使い、 "next-door store"と言うこともできます。

「(店が商品などを)取り扱う」という場合は、"carry 〜"((商品を)店に置く、扱っている) や "have 〜" を使うと良いでしょう。

「商品」は "product"(販売用の) "item"(製造された) "goods" などのように表すことができます。

The store (お店) next-door(隣の) has(取り扱っています) this product(この商品).

The store (お店) next to us(隣の) carries (取り扱っています) this item(この商品)

The shop (お店) next-door (隣の) stocks (取り扱っています) this item(この商品)

商品なら、取り扱うが「to carry」か「to stock」になります。