この業務は業者に業務委託に出したのですか？って英語でなんて言うの？

「業務委託」「外注」は日本語でも「アウトソーシング」と言いますが、動詞 outsource が使えます。

「この業務」の「業務」は service, work, operation などで、

　Is this service outsourced?

となります。

「業者に」は言わなくても outsource に意味が含まれますが、言うならば業務の内容によって、販売業務なら to a retailor（小売業者）/ wholesaler（卸売業者） 、製造業務なら to a manufacturer など続ければいいでしょう。

単純に委託したのかどうか聞きたいなら”Did you” 業務委託することを頼んでいて、その進捗を確認するニュアンスなら”Have you”がオススメです。

farm out＝「外注する、下請けに出す」
business＝「仕事」

Have we farmed out this business to some company?
「我々（うちの会社）はこの仕事を他の会社に業務委託したのですか？」

entrust＝「（仕事を）委任する」
We have decided to entrust the job to the company.
「我々はその仕事をその会社に委託することに決めました」

ご参考まで