I put water in the pitcher, grasp the handle with my right hand and carry the pitcher.
I put water in the pitcher and carry it by the handle with my right hand.
「持って移動する」を直訳すると「hold and move」になりますが、それは「carry」の意味なので、そうしました。
「carry something by 〜」「hold something by 〜」という表現がよく使われています。
アレチネズミを尻尾をつかんで拾わないで。
Don't pick up the gerbil by the tail.
Put water in the pitcher, and hold it by the handle with your right hand.
私でしたら Put water in the pitcher, and hold it by the handle with your right hand と言います。しかし、ピッチャーを取っ手で持たない人は少ないと思いますので、多分 Put water in the pitcher, and hold it in your right hand で大丈夫だと思います。
ご参考になれば幸いです。