あなたの名前を日本語で確認したいって英語でなんて言うの？

この場合には、"check"　も　"confirm" も「確認する」という意味になりますが、"check"はこの文脈でもう少しカジュアルな言い方になると思います。

あなたの名前の日本語での正しい書き方　＝　the correct way to write your name in Japanese

あなたの名前の日本語での書き方 = how to write your name in Japanese
または　how your name is written in Japanese

ご参考になれば幸いです。

• "Can I confirm how to write your name in Japanese?"
  
  • 直訳すると「あなたの名前を日本語でどのように書くか確認してもいいですか？」という意味です。「confirm」は確認するという意味で、名前の書き方を確認したいときに使います。

• "How do I write your name in Japanese?"
  
  • 直訳すると「あなたの名前を日本語でどのように書きますか？」という意味です。「How do I write」は具体的な書き方を尋ねるときに使います。