堅苦しいって英語でなんて言うの？

「堅苦しい」というのは、英語の熟語の(be) as stiff as a boardと言うことができます。
直訳は「板のように堅苦しい」ということで、「（緊張などで）コチコチ（またはカチカチ・ガチガチ）である」という意味となります。

相手にこのような文章ができます：
例) You're as stiff as a board. Try to relax.
「あなたはコチコチだよ。落ち着いてよ。」

ここの「堅苦しい」は英語で次のように言えます。
ーformal
ーproper

例：
You don't have to be so formal, we're not at work anymore.
「もう仕事場じゃないんだから、そんなに堅苦しくしないでいいよ」

ご参考まで！

こんにちは！
ご質問ありがとうございます。

先のアンカーさんが回答されているので、ここでは他の例を挙げてみます。

You don’t have to be so formal—just be yourself.
とすると、「そんな堅苦しくならずに自分らしくしてればいいんだよ。」となります。

参考になれば幸いです。