回答
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I was going out and the lesson totally slipped my mind.
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I had another appointment and I totally forgot about the class
「外にいた」ことを強調する場合には「was going out」
「(他の)用事があった」ことを強調する場合には「had another appointment」
「忘れていた」には日常的に使われる用法として主に2つあります。
I forgot と it slipped my mind です。
slip one's mindは「頭(記憶)からすべり落ちる」→「すっかり忘れていた」
となります。
回答
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I'm sorry, I didn't realize the time since I was tied up with my things.
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Sorry, I forgot about the time. I got caught up with some stuff.
「ちょっと用事で...」と内容について触れずに言いたい時は"with my things"や”with some stuff”などのフレーズが便利です。