I want to see you again soon! = また近いうちに[会いたい](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/36503/)!
Let's hang out again soon! = また[近いうちに](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/62764/)遊ぼう!
hang out は「遊ぶ」というニュアンスの英語表現です。英語では play は子供が遊ぶようなイメージの表現になります。
「次いつ時間ある?」は "When are you free?" (いつ暇?)と言います。ちなみに久しぶりに会って「今度はそんなに時間おかないようにしよう」と言いたい時は "Let's not wait too long to meet next time!" と言いましょう!
I want to hang out with you again soon. When are you free?
Let's do this again soon. When are you free?
(またこういうことしたいです。いつなら暇ですか?)
帰り際にその日が楽しかったからまたすぐ同じようなことで集まろうというときに使います。ただし、do this againは間髪入れずに使わないとなにをさしているのかわからないので、駅で別れるときなど解散する前に使うのがベストです。
I want to hang out with you again soon. When are you free?
(近いうちにまた遊びたい! 次いつ時間ある?)
こちらのほうが汎用的です。
日本語でも同じですが、「近いうちにまた遊びたい! 」は社交辞令の場合がありますのでWhen are you free?と付け加えることで本気度が伝わると思います。