「近いうちにまた遊びたい!」って英語でなんて言うの？

I want to see you again soon! = また近いうちに会いたい！
Let's hang out again soon! = また近いうちに遊ぼう！

hang out は「遊ぶ」というニュアンスの英語表現です。英語では play は子供が遊ぶようなイメージの表現になります。

「次いつ時間ある？」は "When are you free?" (いつ暇？）と言います。ちなみに久しぶりに会って「今度はそんなに時間おかないようにしよう」と言いたい時は "Let's not wait too long to meet next time!" と言いましょう！

1) catch upは、「追いつく」という意味で使われますが、「再会する」という意味でもよく使われます。
２）See you soon 「すぐに会う」の前に、Hope to 「～したい」という希望を加えています。文法的には、really soonが正しいのですが、real soonは口語でよく聞かれます。

Let's do this again soon. When are you free?
（またこういうことしたいです。いつなら暇ですか？）
帰り際にその日が楽しかったからまたすぐ同じようなことで集まろうというときに使います。ただし、do this againは間髪入れずに使わないとなにをさしているのかわからないので、駅で別れるときなど解散する前に使うのがベストです。

I want to hang out with you again soon. When are you free?
（近いうちにまた遊びたい! 次いつ時間ある？）
こちらのほうが汎用的です。

日本語でも同じですが、「近いうちにまた遊びたい! 」は社交辞令の場合がありますのでWhen are you free?と付け加えることで本気度が伝わると思います。