彼女は彼女の母親と同じくらい早くに起きたって英語でなんて言うの？

まずは、質問に答えます、didはいっても言わなくても両方大丈夫です。
テキスト通りでいうならdidあると思いますが、会話ではdidを最後まで言わない場合がとても多いです。

そして、よりネイティブに言いたいならば、この二つのフレーズも覚えましょう（いただいたフレーズでもいいのですが、会話っぽく言いたければこの二つも覚えましょう）

言い方いろいろですが、この２つがとても自然です。
around the same timeまたはabout the same time
同じぐらい

motherやmom,両方が「母親」と示します。カジュアルに言うなら「mom」でよくて、ビジネスやもう少しきちんとした場では「mother」で大丈夫。

起きる→wake up, get up
起きた→woke up, got up

合わせて
She got up around the same time as her mom (did).
She woke up about the same time as her mother (did).

didはいっても言わなくてもいい。ネイティブはdidを捨てる人が多いです。

ご質問への回答は、ジャニカさんと同意見です。
正しいのは、She got up as early as her mother did.
でも会話だったらdidがないのもアリだと思います。

他の言い方をするとしたら、
１）の文は、ちょっと書き言葉風です。
２）の文は、「二人とも同じくらいの時間の早起きをした」
as ~ asを使うよりも簡単です。