yoshikoさん、こんばんは。
英語ではこの三つぐらいの表現は使えます。
onset of an illness = [病気](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/31156/)の発症
appearance of symtoms = [症状](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/38665/)の現れ
outbreak of an illness = 病気の発生
どれでも使っても良いですが、上記の文字通りの翻訳を見ますと、それぞれのニュアンスが分かると思います。
ご参考になれば幸いです。
「病気を発症する」は「[病気になる](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/66495/)」ということだと思います。
日常の会話なら get で言い表すこともできると思います。
例）
I never thought I would get cancer.
〔Donegal Now-Nov 19, 2017 より〕
→自分が[がん](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/68229/)になるなんて思わなかった
I think I'm getting a cold
→風邪気味だと思う
She was 70 years old when she got dementia.
〔Warren Tribune Chronicle-Nov 22, 2017 より〕
→彼女が認知症になったのは70歳の時でした
※dementia＝認知症
参考になるといいです
ありがとうございました。
「発症」は、
"symptoms appearing"
という表現を使うことも出来ます。
"Symptoms may appear one to two days after exposure to the virus."
「ウィルスにさらされてから1日か2日で通常発症します。」
ご参考になれば幸いです。
アメリカ合衆国 
日本 
