うちの社長は3代目社長だって英語でなんて言うの？

～代目は、序数で表します。2代目は、second-generation, 3代目は、third-generation.
ちなみに、同族会社のことを、family company, family firm, family business,あるいは、affiliated companyと言います。

きちんとした「三代目」や「同族経営」という言い方は竹村先生がお書きになった通りです。

それだと難しい場合や、思い出せない時には、まずはそれに近いことを
表現することが大切です。

例えば

He is the president
彼が社長で、
and his grandfather first started the business.
彼のおじいさんが最初にビジネスを始めました。

このように言えば、言いたいことはほぼ通じるかと思いますがいかがでしょうか。