『ゴミを処理する』を英語で表現してみると
"disposing of garbage" (ゴミを処理する)
これが一番ピンとくる表現のような気がします。
"dispose" (処分する、片付ける)のような意味になります。
"garbage disposer" (生ごみ処理機)なんて言うのもありますよね。
ちなみに
"dealing with garbage" (ゴミを処理する)
"deal with~" (~を処理する、~に対応する)などと言う意味になります。
"taking care of garbage" (ゴミを処理する)
"take care of ~" (世話をする、処理する)と言う意味になります。
状況に合わせて使ってみてくださいね。