ディスプレイが明るくて、長時間見ていると目が重くなりますが、その時は：
「① My eyes ache because of the screen.」＝ 「ディスプレイのせいで目が痛い」。
目が重いの「重い」はストレスによるものなので「ache」に該当すると思います。
また、より簡単な「② The screen is hurting my eyes.」＝「ディスプレイが私の目に辛い」も使えます。
"Ache"と"pain"は意味が近いですが、どちらかというと"ache"は長時間によるストレスに引き起こされる病状を表します。
ジュリアン
一つ目は文字通り「目が重い」という表現で英語では「まぶたが重い」という言い方になります。
二つ目は「目を開けていられない」という表現ですが、この場合は単に眠い、という感じもあります。もちろん一つ目も眠くて目が重い、ということもありますが、この質問にありますように目が疲れて重い、ということに使えます。
いずれの場合も、"because I use the computer too much" とか "because I watched the computer display (monitor, TV) for so long" とか説明を付け加えればいいかと思います。
My eyes got tired from staring at a screen for too long.
I've got eyestrain from working at a computer screen for too long.
My eyes got tired from staring at a screen for too long.
「ディスプレイの見過ぎで目が重いよ～（目が疲れたよ～）」
I've got eyestrain from working at a computer screen for too long.
「コンピューター作業が続いちゃって、目が重いよ～」
eyestrain ＝疲れ目、眼精疲労
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