I'm looking forward to speaking to you soon when you are free.
回答① Let's catch up again when you are settled.
「落ち着いたらまた話そうね。」という表現になります。
（解説）
Catch up with～「～と近況を話す」
Get (be) settled (in one place)「（新しい場所に）落ち着く」
家族や友達が新しい場所に引っ越す等で落ち着かないけど、また話したいときに便利な表現です。Catch upは友達同士でよく使うのでぜひ覚えて使ってみましょう！
ちなみにSettle downも「（新しい場所に）落ち着く」という意味ですが、今まで居場所を定めなかった人が結婚などをきっかけに「（一つの場所に）落ち着く」というニュアンスを含むのでget settledの方が自然かもしれません。
回答②Let me know as you get settled.
「落ち着いたら教えてね」という①よりもシンプルな表現です。
（解説）
let me knowは本当によく使います。この表現の中ではwhenの代わりにas「～の時」を使いました。asは使い方がたくさんあり、becauseの代わりに使えたりもします。その他にもas long as、as far as、as time goes by...などasを含む様々な表現を覚えておくと英語の表現の幅がぐっと広がります。
回答③ I'm looking forward to speaking to you soon when you are free.
「あなたが時間あるときに話せるのを楽しみにしている」と①、②とはまた異なる表現になります。
（解説）
I am looking forward to（名詞）「～を楽しみにしている」とこちらもよく使います。
I am looking forward toとI look forward toは文法的にはどちらも正しいですが、
後者のほうがよりフォーマルな表現です。顧客や目上の人にメールを送るときになど
I look forward to hearing from you「ご連絡をお待ちしております」のように使います。
Speak to you「あなたと（軽く）話す」という表現も便利です。Talk to youよりも軽い話をするニュアンスになります。ちょっと話したいだけなのに
I want to talk to youというと相手は真剣な話（恋人同士だと別れ話とか？）なのではないかと思ってしまうのでご注意を。
参考になりましたでしょうか？日本語の一つの表現でも英語で様々な言い方をすることができます。どの言語もそうですが、その時の状況や話す相手によって表現の仕方が変わるので様々な言い方を覚えておくととても便利です！
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