city hall 「市役所」の方が一般的には分かりやすいと思いますが、
町役場は、調べると"town hall"と出てくるので、
厳密に「町役場」と言いたいときは,
turn in the birth certificate to town hall
がいいと思います。
「子供がうまれたので町役場に出生届を出す」は、
Since my child was born, I'm going to turn in the birth certificate to town hall.
※the birth certificate 出生届
余談ですが、出生届と言えば、うちの三男の出生届けを日本では出したのですが、まだアメリカの方には提出していないので少し焦っています。もうすぐ10才になるので、早く出さなければ！！（笑）
to submit (my/your/our/his/her child's) birth registration at (the) city hall
to file (my/your/our/his/her child's) birth certificate at (the) city hall
例文一：
We just had another baby, so we submitted the birth registration at city hall.
子供がうまれたので町役場に出生届を出した。
例文二：
We just had another baby, so we filed the birth certificate at city hall.
子供がうまれたので町役場に出生届を出した。
・自分の町の町役場なら、"the city hall"の"the"を省いて"city hall"にしてもいいです。
・自分で町役場に行って提出するなら、"at city hall"と言います。メールやインターネットで出すなら、"to city hall"と言います。
・アメリカでは"birth certificate"は特別な出生証明書です。"birth registration"は特別な証明書ではなく、普通に登録する情報です。
・"to submit"と"to file"はほぼ同じですが、政府に出す情報なら、"file"の方が相応しいと思います。
アメリカ合衆国 
