誠心誠意って英語でなんて言うの？

「誠心誠意」は英語でwholeheartedly、
from the bottom of one's heartと言います。

どちらもheartという語が入っていますね。

例文
She devoted herself wholeheartedly to him.
彼女は、誠心誠意彼に尽くした

I apologized for that from the bottom of my heart.
私はそのことを誠心誠意謝罪した。

参考になれば幸いです。

"Wholeheartedly" や "From the bottom of one's heart" 等、"heart"を使う表現が多いかと思いますが、"heart"を使わない下記のような単語もあります。

心から、まごころを込めて、切実に、といった意味を持つ "Sincerely"
例）"I sincerely apologise for the trouble that I've caused you."=「ご迷惑をおかけしてしまい誠心誠意お詫び申し上げます。」
"Sincerely"は手紙やメールの締めとして"Sincerely yours"＝「敬具/真心を込めて」、といった使われ方もよく見ますね。

誠に、本当に、心底、といった意味を持つ"Truly"
例）"He truly did his best to make the situation better."=「彼は事態を改善するために誠心誠意ベストを尽くした。」
"Truly"も"Sincerely"と同じ意味で手紙やメールの締めとして"Yours truly"等としてよく使われます。