彼の家は完全お小遣い制だから、あんまり飲み会誘ったら悪いよって英語でなんて言うの？

「お小遣い」は、pocket money, spending money 、あるいは allowance です。

(1)(2)はonly を付けることで「完全に」の意味を出しています。
(3)の直訳は、「彼は小遣いが(使える)全てだから、私たちは飲みに誘い続けるべきではない」です。all he has のあとのfor personal expense (個人的な支出のために)が省略されている形です。

ちなみに、be on an allowance も「お小遣い制で過ごす」という意味の表現です。

「小遣い制」とは直訳したら「allowance system」というんですが、ほとんどの英語のネイティブはそのsystemはわからないので、もっとわかりやすい説明にしなければなりません。

「purse strings」= 「財布の紐」ですね。英語でこうよく例えます。
「control the purse strings」＝「財布の紐を握る」。