I'm gonnaはI'm going to 「これから～する」の短縮したものです。check onは色々な意味をもつ表現ですが、その中の一つは文字通り「～をチェックする」「見守る」という意味合いがこめられています。
I regularly check on my grandmothers health.
わたしは祖母の様子を定期的に見に行くことにしています。
behaveは「振舞う」や「行動する」という意味です。
I don't like the way he behaves.
わたしは彼の振る舞いが気にいらない
I will wait and see.
様子見をします。
上記のように英語で表現することもできます。
wait and see は「待ってどうなるか見る」というようなニュアンスの英語表現です。
例：
I'm going to wait and see how she acts.
彼女がどんな行動をするか様子見します。
お役に立てればうれしいです。
またいつでもご質問ください。
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