どういうところがカッコ良いの、って英語でなんて言うの？

まず「どういうところが？」という表現は対象問わず、英語ではよく〝in what ways?” （熟語になりますが、）あえて直訳からの分析をすると〝どんな方法によって？” というようなところから作られた表現だと思います。

会話の流れによってはただ「どういうところが～？」と聞けばいい時がほとんどだと思いますが、そんな時は例文のまま、単体で。「かっこいいの？」という表現をあえて付け加えて言う時は、〝In what ways am I cool?”（〝かっこいい” という表現を〝cool” にしてみました。）という感じになりますかね。

または単純に、〝how” 、また〝how do you mean (by that)?”　（それってどういう意味で～？）という表現の意訳として同じ質問ができるかもしれませんね。

少なくとも〝What kind of parts”　と言ってしまうと、英語の単語の〝parts” という単語は〝物理的な部分”　を意味し、今回の表現の中ではさらに〝kind of”（どんな類の、種類の） という意味になってしまうのでちょっと通じにくいかもしれません。

いずれにせよ、〝かっくいい” ことに越したことはありませんね。
羨ましい限りで～す！！

英語もまたがんばってくださいね～♪

すでに回答がついていますので、補足の表現です。

言葉には裏の意味があったり、意味がたくさんあるものがありますよね。その単語は知っているけど、どういう意味で言っているの？という時があると思います。それを明確にしたいときに使うのがこの「What do you mean by...?」です。

「彼はいい人だよね」
「いい人って言うと（どんな意味で）？」
「優しいってこと。でも恋愛対象にはならないかな」

例を挙げるとこんな会話ですね。この表現は会話でもよく使われるのでぜひ使ってみてください。