I'm a working mother so I cannot take on too much responsibility at this time.
I cannot keep up with too many responsibilities right now because I have children to take care of.
例文１は「ワーキングマザーなので、今は責任の重い仕事は受けられない。」という意味です。
例文２は、「子供の世話があるので、今はたくさんの仕事を遅れることなくこなせない。」というニュアンスです。
responsibility(仕事や責任）は、加算名にも不可算名詞にもなりうるため、「たくさんの責任・仕事」を可算名詞として使うならtoo many responsibilities、不可算名詞として使うならtoo much responsibilityとなります。
ご参考まで。
日本 
