Since my hairdresser runs his salon all by himself, it is hard/difficult to get an appointment.
「美容師さんは一人で店をやっていて」は
"My hairdresser runs his store by himself"でよいでしょうか？
⇒storeよりもsalonの方が適していますが、文法はばっちりだと思いますよ！
Since〜=〜なので
to get /make an appointment= 予約を取る
My hairdresser runs his shop by himself and he doesn't have any assistants so it's hard to get an appointment there.
My hairdresser is the only one who works at the shop so he is always busy.
kyokoさんのご質問の「美容師さんは一人で店をやっていて」は"My hairdresser runs his store by himself"でよいでしょうか？は、正解です。
例文２のように「私の美容師さんは、店で唯一働いている人」という言い方で、「一人で切り盛りしている」というニュアンスがでます。例文１の言い方が長いな、と思ったらこちらの言い方も使えるかと思います。
「予約が取りにくい」は、hard to get an appointment や hard to book an appointment という言い方や、he is always busy「いつも忙しい」と言ってもいいかと思います。
ご参考まで！
日本 
