Don’t play with your cup or else you’ll spill your tea.
Don’t play with your tea は お茶と遊ばないで、つまりお茶の入ったコップと遊ばないでという意味になります。
Don’t play with your cup or else you’ll spill your tea.
は 「お茶がこぼれるから、コップと遊ばないで」という意味です。
「こぼさないで」と言いたい場合は Don’t spill it! と言えます。
「お茶がこぼれるからコップを倒さないで!」という表現は、 Don't tip over the cup or the tea will spill! 「コップを倒さないで、お茶がこぼれるから!」
他にも、このように表現できます: Please don't knock over the cup, it will spill the tea. 「コップを倒さないでね、お茶がこぼれるから。」