Sorry, I have to work a shift that day so I can't go.
Hi there.
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「シフトが入ってる」とはよく日本語で使う表現ですが、あまり英語では聞きません。普通に「仕事がある」と言う方がわかりやすいと思われます。
その場合ですと、「その日仕事が入ってるから行けないんだ」となります:
"Sorry, I have to work on that day so I can't go"
もしくは
"Sorry, I have work on that day so I can't go"
どうしてもシフトがある、と言う点を強調したい場合は、このように言うこともできます:
"Sorry, I have to work a shift that day so I can't go"
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Hope this helps.