I want to give my mother a travel voucher as a gift.
I would like to give my mother a travel package so that she can go on a free trip when she wants to.
「旅行をあげる」は旅行券であれば"travel voucher" 旅行そのものを組んで支払ってまるごと差し上げるのであれば、"travel package"を差し上げる、とできます。わかりにくいときの為に、「（誕生日の）贈り物として」の意味で "as a (birthday) gift/present"とすると良いでしょう。「あげたい」は"I want to give~", "I would like to give ~" 3文目は、「母が時間のあるときに無料で旅行に行けるように旅行パックをプレゼントいたしたい」です。
こんにちは。
さまざまな言い方ができると思いますが、下記のような英語表現はいかがでしょうか：
I want to gift a trip to my mother.
私は母に旅行をプレゼントしたいです。
ここでの gift は「贈る」という意味の動詞として使っています。
ご提案いただいた I would like to gift a travel tour for my mother. でも問題なく通じますが、
for my mother を to my mother とするとより自然かと思います。
ぜひ参考にしてください。
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