アルバイトの許可願いが先生から承認されたって英語でなんて言うの？

「許可」はpermissionです。「先生」はschoolにしておきました（先生一人の許可ではないので）。「アルバイト」はドイツ語由来の外来語で、work part timeが一般的です。 日本の学校は中学生、高校生のアルバイトを厳しく制限する傾向がありますが、欧米はもっと自由で、アメリカ合衆国はむしろ推奨する雰囲気があると思います。このようなお国柄の違いがありますので、「申請書」「許可願い」「提出」などの具体的なことを言うと、逆に「どういう学校なの？」となってしまいそうですね。 シンプルに「許可が出たんだよ」とだけ、例文のようにさらっと言ってしまいましょう。 参考になれば幸いです。

My teacher accepted my request to do a part-time job. 【訳】先生が私のアルバイトがしたいという申し出を受理した。 accept ＝受け入れる　allow ＝許すも使えると思います。 I got a permission to work part time from my teacher 【訳】私は先生からパートタイムで働く許可を得た。 上の２例のように「人が人を〜する」「人が人から〜される」という方が多い気がします。 日本語の直訳にあえて近づけるなら My request to work part time is accepted by my teacher. 【訳】パートタイムで働く私の申請は先生によって受理された。 ですが、ちょっと回りくどくなる印象です。 結局会話文なら My teacher allowed me to work part time. 【訳】先生が私のアルバイトを許した ぐらいシンプルにしてしまった方が自然かもしれません。 参考になれば。