ご質問の日本語で挙げられている「ポスト」をそのまま英語で使って、
post to a/the mailing list
と言います。あるいは send もOKです。
メーリングリストは、特定のトピックについて複数の購読者がメールアドレスを登録しておき、メーリングリスト宛てのメッセージを送るとそれが全員に転送されるシステムですが、そうしたメッセージを送るのは post または send です。
なお、
メーリングリストに「登録する」は subscribe、
メーリングリストから「退会する」は unsubscribe
を使います。
この場合の「関連している」は relevant を使って、
「人の募集にに関する情報を関連しているメーリングリストにポストしてほしい」は
Would you post the information about recruiting to the relevant mailing lists?
といった文になります。