Would you mind 「～をしてもよろしいですか？」
という表現で、とても丁寧な表現の英語でよくつかわれます。
ポイントとしては、mindの次は動名詞になるので、今回のようにtellingと直して使います。
特に、こんがらかってしまうところは、このwould you mindの表現に対しての答え方になります。
この場合は、not at all（全然かまいませんよ）やsure（もちろんです）
などを使うのが、一番日本人ではしっくりきやすいかと思います。
Couldも、Canよりも丁寧な表現として使うことができます。
なので、Can you tell me your name again?
よりも、
Could you tell me your name again?
にするだけでも、丁寧な質問になりますので、よかったら使い分けてみてもらえれば幸いです。
May I ~ をつけると「～してもよろしいでしょうか」という非常に丁寧な聞き方になります。
「申し訳ありませんが」と断りをいれるとしたら、
I hate to ask you this（これを聞くのは気が引けるのですが…）と先に
言っておくと気持ちが伝わると思います。
I hate to ask you this, but may I have your name again please?
申し訳ありませんが、もう一度お名前をお伺いしてもよろしいでしょうか。
先ほど聞いた名前をもう一度聞いたり確認したりするときに、謝り表現を使いながらこのようにも使えます：
I'm sorry, but could I have your name again?
申し訳ありませんが、お名前をもう一度お伺いしてもよろしいでしょうか。
I'm sorry to ask again, but what is your name?
もう一度お伺いして申し訳ありませんが、お名前は何ですか？
I'm sorryの代わりにI'm very sorry、I'm terribly sorry、I'm really sorryなどにするとより丁寧になります。
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