I never told her how I really feel, but I'm happy for her that she gave birth to a healthy baby.
She doesn't know how I truly feel, but I'm glad her baby was born healthy.
英語の「陰で隠れて」にはネガティブなニュアンスが含まれるので、直訳するよりも、少し回りくどいかもしれませんが、意訳した方が真意が伝わると思います。
①I never told her how I really feel, but I'm happy for her that she gave birth to a healthy baby.
「彼女に自分の本当の気持ちを伝えたことはないけれど、彼女が元気な赤ちゃんを産んでくれて嬉しい（喜んでいる）。」
I never told her how I really feel→私の本心を彼女に伝えたことがない
I'm happy for her→（彼女のために）喜んでいる、嬉しい
she gave birth to a healthy baby→元気な赤ちゃんを産んだ
②She doesn't know how I truly feel, but I'm glad her baby was born healthy.
「彼女は私の本当の気持ちを知らないけれど、元気な赤ちゃんが生まれてくれて嬉しい。」
She doesn't know how I truly feel→私が本当はどう思っているか彼女は知らない
I'm glad→嬉しい
her baby was born healthy→彼女の赤ちゃんは元気に生まれた
Secret（秘密）の副詞・Secretly（こっそり、内心では）を使って、”I'm secretly happy”と気持ちを表すことも出来なくはないですが、どちらかと言うとマイナスなことに対して（例えば、誰かの不幸や失敗など）「密かに喜んでいる」ニュアンスがあります。
少しでもご参考になれば幸いです。
I haven't had the chance to directly congratulate her yet on having her new baby.
回答の英文は「子どもが生まれて、直接伝えてはいないけれども本当に喜んでいる」という意味を汲んで英訳しました。
ご質問文についてですが、出産をなぜ「陰でよろこぶ」のか、背景がわかりませんが、「陰で隠れて」という意味の英語はbehind someone's backです。陰口で使う表現でネガティブなニュアンスです。
質問文を直訳すると、
She gave birth to a baby and I am really happy (behind her back).
となります。
文脈がはっきりしない限り、英語としてとても不自然だとは思います。
参考になれば幸いです。
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