I'm afraid you might not be able to hear me clearly but please let me proceed with the lesson.
I'm afraid I may not be able to speak clearly but please let me continue with the lesson.
「～かもしれない」→「I'm afraid that~」
「（私の言ってること）聞き取りづらい」→「Might not be able to hear me clearly」
「To not be able to speak clearly」→「話しづらい」
「レッスンを進めさせてください」→「Please let me proceed with the lesson」
「レッスンを続けさせてください」→「Please let me continue with the lesson」
It might be a bit hard to hear my voice, but I think I'll be alright for the lesson.
これは直訳と結構離れますが、伝えたいことを表現できます。
「風邪をひいてしまい」という部分は Unfortunately I've caught a cold で言えます。
全部を含むと Unfortunately I've caught a cold, so it might be a bit hard to hear my voice, but I think I'll be alright for the lesson になります。
参考になれば幸いです。
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