❶I need to wire money right away.
(お金を急いで相手に振り込まないといけないの)。
❷ I need to make a deposit a.s.a.p.
(お金を急いで振り込まないといけないの)。
ASAP は As soon as possible (できるだけ早く)の省略です。
＊ Deposit は振込という意味ですが、deposit は自分の口座の振込も含まれます。
Wire transfer または wire money は自分から相手の口座にお金を振り込む時だけに使う言葉です。
その後に 〜I’m heading to the bank now. (なので今銀行に向かってる)と言うこともできます。
“I need to wire money right away so I’m heading to the bank now” (お金を振り込まないといけないので、今銀行に向かってるよ)。
I got a phone call from a family member asking me to transfer some money to their bank account right away.
この場合、次のような言い方ができますよ。
ーI got a phone call from a family member asking me to transfer some money to their bank account right away.
「家族から電話があって、すぐにお金を口座に振り込むよう頼まれた」
to transfer some money to one's bank account で「銀行口座にお金を送金する」と言えます。
ご参考まで！
アメリカ合衆国 
カナダ 
