（子供に）大人っぽくなってきたって英語でなんて言うの？

「You're growing up fast！」と言うと、「早くも大人らしくなって来たね」に値します。

直接本人に言う分でも使えますし、第三者に対して言う時も「She's growing up fast!」と言えます。

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"Kind of adult"は違いますね。
Adultと言うとどうしてもおじさん・おばさんをイメージします。
もし断じて使うのなら、"man" や "woman" を使うといいです。

例文１「大人っぽくなってきたね。」というニュアンスです。
more adult-like で「より大人っぽい」となります。

例文２「より一層大人らしくなってきたね。」というニュアンスです。
much more grown-up で「より一層大人らしい」となります。

例文３「大人びてきたね。」というニュアンス。
more mature で「より大人びる」となります。

ご参考になれば幸いです！