屋根付きの商店街は英語でshopping arcadeと言います。
日本語でもアーケードと言いますね。
shopping districtは[商業](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/59010/)エリアを指すので[駅](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/35199/)前などのお店が並んでいる場所を指します。
例文
There are many shopping arcades in Nakano, Tokyo.
東京の中野にはたくさんの商店街があります。
「This is a popular shopping district in my home town」これは私の[故郷](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/40746/)の[人気](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/32946/)な商店街です。
「Shopping street」とはただ1つのストリートを指します。「Shopping district」とは、同様の通りの集まりを指します。